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在气体放电等离子体中，电子的输运行为可由Boltzmann方程精确描述，该方程的解是许多等离子体仿真模型的基础。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）作为一种求解Boltzmann方程的新型方法，虽克服了传统数值方法网格剖分和方程离散的缺陷，但其也存在参数空间规模大，在求解多任务时训练效率较低的问题。

东南大学的研究团队将元学习（Meta Learning）的思想引入到这一过程中，提出了一种双循环物理信息神经网络结构，在内循环中对多个Boltzmann方程求解任务进行优化训练，得到各任务优化后的元损失函数并用于在外循环中更新网络参数。这一结构提高了网络在求解新任务时的计算效率，为多任务条件下Boltzmann方程的数值求解提供了新的解决方案。

研究背景

在气体放电等离子体中，通过求解描述电子输运行为的Boltzmann方程可以获得气体放电过程的电子能量分布函数（Electron Energy Distribution Function, EEDF），基于EEDF可进一步计算获得迁移率、扩散率等电子输运系数，而这些参数是电晕放电、辉光放电、弧光放电等许多放电等离子体仿真模型的关键输入参数。

因此，研究气体放电等离子体电子Boltzmann方程的高效数值求解，对于气体放电等离子体的仿真建模具有重要意义。PINN是一种新兴的用于偏微分方程求解的神经网络方法，可以克服传统数值方法网格剖分和方程离散的缺陷，但也存在网络参数规模大，面对多任务求解时效率较低的问题。

论文所解决的问题及意义

本文将一种元学习的典型算法MAML（Model-Agnostic Meta-Learning）与PINN相结合，构造了具有内外两个循环结构的元PINN模型（Meta-PINN）。

进一步地，分别进行了多约化场强任务和多混合气体配比任务的气体放电等离子体电子Boltzmann方程数值求解，并在此基础上分析了网络容量和内循环迭代次数对计算效率的影响。

相关数值计算结果表明该方法能够显著地提高面向气体放电等离子体的多任务电子Boltzmann方程求解效率，可为放电等离子体模型的高效计算提供支撑。

论文方法及创新点

为了提高PINN求解多任务Boltzmann方程的效率，本文引入了一种典型的元学习算法MAML，并构造了一个双循环Meta-PINN网络架构。

Meta-PINN网络中有两类任务：元训练任务集（Training Task Set）和元测试任务集（Testing Task Set）。每个任务集均由数个任务组成，且每个任务数据又分为支持数据（Support Data）和测试数据（Query Data）以确保网络的泛化能力。

同时，Meta-PINN网络中也具有两类训练网络：PINN网络和元网络。训练时，首先在内循环中使用PINN网络对多个训练任务进行优化训练，得到各任务优化后的损失函数；然后，将其用于在外循环的元网络中进行网络参数的迭代更新，网络收敛后输出权重参数；最后，利用得到的权重参数初始化PINN网络并求解新任务。

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图1 Meta-PINN训练流程

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图2 Meta-PINN网络双循环优化结构

基于建立的双循环Meta-PINN网络架构，本文以不同约化场强和不同气体配比下的Boltzmann方程求解为例，分析了Meta-PINN在处理多任务时的性能。

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图3 不同约化场强下Ar等离子体的Boltzmann方程求解结果

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图4 不同气体配比下 SF6-Ar等离子体的Boltzmann方程求解结果

同时，本文还研究了网络容量（包括隐藏层数量和每层神经元数量）以及双层循环结构中的内循环次数对多任务Boltzmann方程求解效率的影响。

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图5 Meta-PINN在不同隐藏层数下的训练过程

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图6 Meta-PINN在不同神经元数下的训练过程

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图7 Meta-PINN在不同内循环数下的训练过程

结论

Meta-PINN在求解新任务时损失函数值和L2误差值的下降速度均显著快于传统PINN方法。在本文算例中，Meta-PINN的收敛速度最低提升75%，最高提升22倍。可见，Meta-PINN能够有效提高气体放电等离子体电子Boltzmann方程的求解效率。且在某些情况下，Meta-PINN的损失函数值和L2误差值能够比传统PINN下降到更低量级，表明其计算精度也优于传统PINN方法。

在电子Boltzmann方程求解中，Meta-PINN的计算效率并不随网络容量的增大而提高，在2～4层网络隐藏层和300～600个神经元的区间内，最适合求解氩气等离子体多约化场强电子Boltzmann方程的神经网络隐藏层为3层，每层神经元为300个。Meta-PINN的计算效率也并不随着内循环迭代次数的增大而提高，在1～10步内循环步数区间内，最适合求解氩气等离子体多约化场强电子Boltzmann方程的神经网络内循环步数为5步。

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仲林林

东南大学至善青年学者，教学科研岗副研究员，博士生导师。2017年毕业于西安交通大学和法国图卢兹第三大学，分别获得电气工程和等离子体工程博士学位，后加入东南大学电气工程学院。现任中国电工技术学会青年工作委员会委员、中国电机工程学会高电压专委会青年学组委员。主要从事高电压与放电等离子体数值模拟，以及人工智能与等离子体仿真、多物理场建模、电力设备智慧运维的交叉研究。近年来，主持国家自然科学基金2项，在国内外学术期刊发表论文40余篇，出版软件开发专著2部。入选2021年江苏省科协青年科技人才托举工程。主要学术贡献包括：理论证明了不同等离子体组分计算理论的有限等价性；建立了完备的平衡态与非平衡态等离子体物性参数计算模型，自主开发了相应的通用程序包；构建了面向环保气体应用的基础参数开放数据库；提出了面向低温等离子体数值模拟的深度学习计算框架和元学习加速策略；提出了面向电力巡检图像智能处理的目标检测算法、异常检测算法、联邦学习聚合算法和激励机制。

引用本文

仲林林, 吴冰钰, 吴奇. 基于元学习的气体放电等离子体电子Boltzmann方程数值求解[J]. 电工技术学报, 2024, 39(11): 3457-3466. Zhong Linlin, Wu Bingyu, Wu Qi. Numerical Solution of Electron Boltzmann Equation in Gas Discharge Plasmas Based on Meta Learning. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(11): 3457-3466.